Beberapa persamaan pembezaan lelurus, tertib keduat separa boleh diklasifikasikan sebagai parabola, hiperbola dan eliptik. Lain-lain seperti persamaan Euler-Tricomi mempunyai pelbagai jenis di kawasan-kawasan yang berbeza. Klasifikasi menyediakan panduan kepada syarat-syarat awal dan sempadan yang sesuai, dan untuk kelancaran penyelesaian.

Persamaan tertib pertama

Persamaan tertib kedua

Dengan mengandaikan u = x y u y x {\displaystyle u_{}=xyu_{y}x{}} , tertib kedua umum PPS dalam dua pembolehubah bebas mempunyai bentuk

A u x x + 2 B u x y + C u y y + ⋯ (terma tertib rendah) = 0 , {\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(terma tertib rendah)}}=0,}

di mana pekali A, B, C dan lain-lain boleh bergantung kepada x dan y. Jika A 2 + B 2 + C 2 > 0 {\displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}>0} > melebih kawasan satah xy, PPS adalah tertib kedua di rantau itu. Bentuk ini adalah mirip kepada persamaan untuk bahagian kon:

A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}

Lebih tepat lagi, menggantikan ∂ x oleh X, dan begitu juga bagi pembolehubah lain (secara rasmi ini dilakukan oleh Fourier), menukarkan malar pekali PPS menjadi polinomial tahap yang sama, dengan tahap tertinggi (polinomial seragam, di sini berbentuk kuadratik) yang paling penting untuk klasifikasi.

Sama seperti mengklasifikasikan seksyen kon dan bentuk kuadratik ke parabolik, hiperbolik dan eliptik berdasarkan pembeza B 2 − 4 A C {\displaystyle B^{2}-4AC} , yang sama boleh dilakukan untuk kali tertib kedua PPS pada titik yang diberikan. Walau bagaimanapun, pembeza dalam PPS diberikan oleh B 2 − A C , {\displaystyle B^{2}-AC,} kerana konvensyen dari terma xy menjadi 2B bukan B; secara rasmi, pembeza (bentuk kuadratik bersekutu) adalah ( 2 B ) 2 − 4 A C = 4 ( B 2 − A C ) , {\displaystyle (2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC),} dengan faktor 4 digugurkan kesederhanaan.

1. B 2 − A C < 0 {\displaystyle B^{2}-AC<0} : penyelesaian PPS eliptik adalah mudah seperti pekali membenarkan, dalam kawasan dalaman di kawasan di mana persamaan dan penyelesaian yang ditakrifkan . Sebagai contoh, penyelesaian persamaan Laplace adalah analisis dalam domain di mana mereka yang ditakrifkan, tetapi penyelesaian boleh menganggap nilai sempadan yang tidak mudah. Gerakan cecair pada kelajuan subsonik boleh dianggarkan dengan PPS eliptik, dan persamaan Euler-Tricomi adalah eliptik mana x<0.
2. B 2 − A C = 0 {\displaystyle B^{2}-AC=0} : persamaan parabola pada setiap titik boleh diubah kepada bentuk yang mirip kepada persamaan haba oleh perubahan pembolehubah bebas. Penyelesaian meratakan sebagai masa berubah pembolehubah bertambah. Persamaan Euler-Tricomi mempunyai jenis parabola pada baris di mana x=0.
3. B 2 − A C > 0 {\displaystyle B^{2}-AC>0} : persamaan hiperbola menyimpan apa-apa kecacatan fungsi atau derivatif dalam data awal. Satu contoh ialah persamaan gelombang. Gerakan cecair pada kelajuan supersonik boleh dianggarkan dengan PPS hiperbola, dan persamaan Euler-Tricomi adalah hiperbola mana x>0.

Jika terdapat n pembolehubah bebas x1, x2 , ..., xn, persamaan kebezaan separa lelurus umum tertib kedua mempunyai bentuk

L u = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i , j ∂ 2 u ∂ x i ∂ x j  tambah dengan terma tertib rendah = 0. {\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad {\text{ tambah dengan terma tertib rendah}}=0.}

Klasifikasi bergantung kepada simbol eigen matriks pekali ai, j.

1. Elips: Eigen semua positif atau semua negatif.
2. Parabolik: Eigen semua positif atau negatif, kecuali satu nombor iaitu sifar.
3. Hiperbolik: Hanya ada satu nilai eigen negatif dan semua yang lain adalah positif, atau hanya ada satu nilai eigen positif dan semua yang lain adalah negatif.
4. Ultrahiperbolik: Terdapat lebih daripada satu nilai eigen positif dan lebih daripada satu nilai eigen negatif, dan tidak ada nilai eigen sifar. Hanya ada teori yang terhad untuk persamaan ultrahiperbolik (Courant dan Hilbert, 1962).

Sistem persamaan tertib pertama dan permukaan ciri

Pengelasan persamaan pembezaan separa boleh diperluaskan kepada sistem persamaan tertib pertama, di mana yang tidak diketahui u kini merupakan vektor dengan m komponen, dan matriks pekali Aν adalah m oleh m matriks untuk ν=1, ..., n. Persamaan pembezaan separa mengambil bentuk

L u = ∑ ν = 1 n A ν ∂ u ∂ x ν + B = 0 , {\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}

di mana matriks pekali A ν dan vektor B boleh bergantung kepada x dan u. Jika permukaan hiper S diberikan dalam bentuk yang tersirat

φ ( x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 , {\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,}

φ di mana mempunyai kecerunan bukan sifar, maka S adalah permukaan ciri a bagi pengendali L pada titik yang diberikan jika bentuk ciri terhapus:

Q ( ∂ φ ∂ x 1 , … , ∂ φ ∂ x n ) = det [ ∑ ν = 1 n A ν ∂ φ ∂ x ν ] = 0. {\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.\,}

Tafsiran geometri keadaan ini adalah seperti berikut: jika data untuk u yang ditetapkan di permukaan S, maka ia boleh menjadi mungkin untuk menentukan terbitan biasa u pada S dari persamaan pembezaan. Jika data pada S dan persamaan pembezaan menentukan terbitan biasa u pada S, maka S adalah bukan ciri. Jika data pada S dan persamaan pembezaan tidak menentukan terbitan biasa u pada S, maka permukaan adalah ciri, dan persamaan pembezaan menghadkan data S: persamaan pembezaan adalah dalaman kepada S.

1. Satu sistem tertib pertama Lu=0 adalah eliptik jika tiada permukaan adalah ciri-ciri untuk L: nilai-nilai u pada S dan persamaan pembezaan sentiasa menentukan terbitan biasa u pada S.
2. Satu sistem tertib pertama adalah hiperbola di titik jika terdapat permukaan seperti ruang S dengan ξ biasa pada ketika itu. Ini bermakna, diberi sebarang vektor bukan remeh η ortogon kepada ξ, dan penggandaan skalar λ, persamaannya

Q ( λ ξ + η ) = 0 , {\displaystyle Q(\lambda \xi +\eta )=0,}

mempunyai m punca nyata λ1 , λ2, ..., λm. Sistem ini sepenuhnya hiperbola jika punca ini sentiasa berbeza. Tafsiran geometri keadaan ini adalah seperti berikut: Bentuk ciri Q(ζ)=0 mentakrifkan kon (kon normal) dengan koordinat homogen ζ. Dalam kes hiperbola, kon ini mempunyai m kepingan, dan paksi ζ=λξ bergerak di dalam lembaran ini: ia tidak bertemu apa-apa daripada kon. Tetapi apabila dipindahkan dari asal oleh η, paksi ini bersilang setiap lembaran. Dalam kes eliptik, kon biasa tidak mempunyai kepingan sebenar.

Persamaan jenis campuran

Jika PPS mempunyai pekali yang tidak tetap, PPS adalah mungkin bahawa tidak akan memihak kepada mana-mana kategori ini tetapi menjadi jenis campuran. Satu contoh yang mudah tetapi penting adalah persamaan Euler-Tricomi

u x x = x u y y , {\displaystyle u_{xx}\,=xu_{yy},}

yang dipanggil hiperbola eliptik kerana ia adalah eliptik di rantau x<0 ini, hiperbola di rantau x>0 ini, dan merosot parabola pada baris x=0.

PPS tertib terhingga dalam mekanik kuantum

Pengkuantuman Weyl dalam ruang fasa membawa kepada persamaan kuantum Hamilton untuk trajektori zarah kuantum. Mereka adalah persamaan PPS tertib terhingga. Walau bagaimanapun, dalam perkembangan semiklasik mempunyai sistem terhingga PPB di mana-mana tertib tetap ℏ {\displaystyle \hbar } . Persamaan evolusi fungsi Wigner adalah bukan tertib terhingga PPS juga. Trajektori kuantum adalah ciri-ciri kuantum dengan penggunaan yang mana satu boleh mengira evolusi fungsi Wigner itu.